泰勒，咱们今天就把高中五大基本初等函数的导数公式，给它手推一遍，全程不用计算器，全靠高中那点工具。哪怕你以前背得滚瓜烂熟，这会儿也别忙着看答案，咱们就用最基本的“增量法”，把每个函数的导数到底怎么来的，给它彻底弄清楚。 先来看看最容易的常数函数。y等于c，它的导数定义就是让△x趋近于0的时候，(c减c)除以△x的极限。这算起来简直就是0，毕竟分子永远是0。所以结论很简单，y'等于0。常数函数的特点就是怎么变x都不动，这单调性一眼就能看出来。 接下来是幂函数。设y等于x的n次方，那么△y就是(x加上△x)的n次方减x的n次方。为了简化运算，咱们给这个展开式用泰勒公式一简化，只保留△x那一项就行了。最后就会得到一个结果：△y等于n乘以x的n减1次方再乘以△x。这样一化简，y'也就出来了，等于n乘以x的n减1次方。当n是正数的时候，函数就是往上鼓起来的；要是n是负数，函数就会往下凹下去。极值点一般就在x等于0那儿，而且单调性全看n的正负号。 然后是指数函数。大家有时候容易把y等于a的x次方的导数误以为是0，其实咱们换个思路更直观：设t等于x，那△t也就等于△x。接着算△y的时候会发现，a的t加△t次方减a的t次方其实可以写成a的t次方乘以(a的△t次方减1)。忽略掉那些高阶无穷小的量后，咱们就会发现△y除以△t大约等于a的t次方乘以ln a。所以y'自然就是a的x次方乘以ln a。当a大于1的时候就是指数型增长；当a小于1的时候就是指数型衰减；至于单调方向全看ln a的正负号。 再来是对数函数。y等于ln x用定义来算是最直接的。算一下△y就是ln(x加△x)减ln x，合并一下就是ln[(x加△x)除以x]，这玩意儿可以约等于(1/x)乘以△x除以1。这么一算就知道了y'等于1/x。图像上表现出来的特征就是越靠近0的时候越陡；单调区间也是一眼就能看明白的。类似的道理还能推导出lg x、log₂x这些换底公式的导数。 最后就是三角函数了。先看正弦和余弦。算正弦的△y就是sin(x加△x)减sin x，这里用到一个三角恒等式化简一下得到2倍sin(△x/2)乘以cos(x加△x/2)，当△x特别小的时候这个值就约等于△x乘以cos x了。所以正弦的导数就是cos x；同理余弦的导数就是负的sin x；周期性体现在余弦的周期是π还有正弦的对称性上。 接着看正切函数。正切的△y等于tan(x加△x)减tan x，这个式子展开之后可以化简成sin(2x加△x)除以cos(2x加△x)，约等于2倍的△x除以(1减△x平方/2)，化简之后得到y'等于1除以cos平方x也就是sec平方x。这个时候切线的斜率最大趋近于1的时候就是渐近线；极值点一般出现在整数倍的π/2加减kπ那儿。 总的来说，只要把导数的定义给啃透了，不管遇到什么函数都难不倒你。从常数一直到三角函数这五大类看似独立其实都有一条主线：先取增量再算比值最后求极限。以后碰到陌生的函数先画个草图取几个点用定义算算增量比值最后逼近极限，你也能像高手一样裸推导数了。