这次说个挺有意思的尺规作图题，2018年CMO第二天的第四题。别看它表面上像纯几何题，其实把椭圆跟尺规作图搅和在一起了。给定椭圆，让我们证明有个唯一的、面积最小的外切菱形，还得用尺规把它画出来。先说说这个菱形的面积最小吧，直觉告诉我它的中心肯定在原点，对角线肯定跟椭圆主轴对齐。那咱们就盯着第一象限看就行。 设切点是B、E，把椭圆的参数方程往里一代，就能算出交点坐标C、D。然后用均值不等式一推，就知道当离心角是45°的时候，这个菱形的面积最小。再来说说怎么用尺规作图。把这个椭圆通过仿射变换吹成一个半径为a的圆，外切平行四边形还是平行四边形，菱形的中心还是在原点。回到原来的椭圆上，只要作一条倾斜45°的直线跟大圆相交，交点找出来过那点作x轴的垂线跟椭圆一交，就能得到切点A、F。这样一步步下来，想要的菱形就画出来了。 这里面关键的数学工具就是均值不等式和仿射变换。椭圆长轴短轴分别是a、b，方程写成标准形式之后，经过仿射变换变成单位圆。切点坐标变了，但计算还在继续。算出交点坐标后，对角线乘积的一半刚好是菱形面积。只有当离心角等于45°的时候，这个乘积才能取到最小值，这也是唯一的解。 最后说说具体的作图步骤。一种方法是四弦中点法：随便找两组平行弦AB∥CD、A′B′∥C′D′，把中点连起来得到OM和ON这两条线段。OM跟ON的交点O就是椭圆的中心；以O为圆心画个圈跟椭圆相交于E、G、H、Q这四个点，EG和GH的中垂线就是坐标轴。要是还想找焦点呢？就以J为圆心、OI为半径画个圈跟x轴一交就行。 另一种方法是对角线共圆法：随便画个圈跟椭圆相交于A、B、C、D四点，把AB和CD连起来相交于E；再作∠BEC的角平分线交椭圆于F、G。FG的中垂线就是x轴；同样的道理还能画出y轴。这两种方法虽然走法不一样，但都能准确地把原点和坐标轴给找出来。 总结一下这次的体验吧：别看题目冷门得很，但它把代数、几何和作图全都结合在一起了。均值不等式给出了面积最小的条件；仿射变换把椭圆变成了简单的圆；尺规作图技巧完成了最后的构造过程。它给教练和考生提了个醒：别盲目去押题了，扎实的数学素养才是硬通货呢！