现代数学的内核，说白了就是琢磨那些靠微分方程摆弄出来的超越函数。那句 Felix Klein 给“爱尔兰根纲领”挂在嘴边的话就说得很明白：几何这东西，说到底不是实体本身，而是变换群折腾出来的不变量影子。Klein 那时候把几何学写成群论，其实也就给后来的几何流铺了路——只要流形在某个群的折腾下不动弹，它的演化规矩就能被群论那套话术给死死锁住。这就好比把方程塞给了一个保镖，不管怎么换个打扮（群元素），只要是不变量，那这个保镖（方程组）就得跟着变样子。 拿仿射几何和中心仿射几何这两来说吧。完全仿射微分几何盯着李群看，说白了就是研究那些被线性变换加上平移后都不肯变样的几何玩意儿。中心仿射几何是个小圈子，它只收那些固定了原点的家伙（固定原点的仿射变换）。要是再苛刻点，要求体积也不能丢，那就是中心等仿射几何了，也就是只让保体积的线性变换入伙。 给偏微分方程找个对称群，这就好比是给了一个通行密码。如果有个流形 p 维了（S(t)），它在这个群的所有元素（g）面前都能纹丝不动（都是解），那它就叫不变子流形。这么一来，几何流就被这密码给锁死了，只能沿着一条固定的轨道跑。 欧氏平面上的曲线收缩流（CSF）最早是 Mullins 拿来当晶粒边界运动模型玩的。后来 Gage 和 Hamilton 证明了，只要是闭凸曲线，它在有限时间里肯定能缩成一个点；Grayson 又把这招推广到了非凸曲线头上，不管你多弯多直，先变凸再往圆上靠，最后肯定也得轰然倒塌。到了高维里头就是平均曲率流（MCF），Brakke 用测度理论搭架子，Huisken 用最大值原理算个底朝天；Chow 和 Andrews 在高斯曲率流那一块儿也有不少精彩的补充。 仿射曲线收缩流（ACSF）是 Sapiro 和 Tannenbaum 先引进来的。Angenent 他们发现闭凸曲线能缩成椭圆点；Andrews 把这玩意升级到了超曲面的层面；Loftin 和 Tsui 还把古代的老解都给梳理清楚了。这下仿射几何里的“归一化”路径算是彻底打通了。 最让人没想到的是热流方程在这三种几何里各有各的身份。在欧氏和中心等仿射几何里它是二阶的非线性抛物型；可到了中心仿射这地界儿它就变成了一阶非粘性的 Burgers 方程。在《中国科学：数学》2021 年第 8 期上有篇叫“Invariant hypersurface flows in centro-affine geometry”的文章讲得明白：他们推导出了完整的中心仿射超曲面热流方程组，证明了存在性和唯一性还给出了显式解；举了几个例子像椭圆点、抛物线这类特殊曲面是咋演化的。 未来的路还长着呢。虽然咱们现在围着“不变曲面流”打转忙活 PDE 方程；但中心仿射几何里的完全非线性 PDE 还是有一大片空白在等咱们去填。从孤立子到对称性再到稳定性，每走一步说不定就能扒拉出点新的数学结构或者物理应用来。